문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 리 군 (문단 편집) === 예시 === 사실 리 군들은 유한 군들보다 더 친숙한 대상이라 할 수 있을 것이다. 다음과 같은 예들을 보자. * 실수 집합[* 덧셈만 생각했을 때이다. 양의 실수 집합에 실수 곱만 냅둔 것도 한 예이다. 심지어 이 둘은 리 군 동형(Lie group isomophic)이다.]은 가장 단순한 예 중 하나이다. * 벡터 공간 [math(\R^n)]에서 덧셈 연산만 생각한 것 역시 리 군이다. * 원주 상의 두 점을 각각의 각(예를 들어 [math(x)]축과 이루는 각)을 더한 각에 대응하는 점을 대응시키는 것으로 두 점 간의 "곱셈" (혹은 덧셈)을 정의할 수 있다. 이 역시 리 군이다. 이와 동형인 (isomorphic) 것으로, 크기가 1인 복소수들을 모두 모은 집합에 보통 복소수 곱을 생각해 볼 수 있다. 보통 이걸 [math(S^1)]이라고 표기한다. * 물론 [math(\R^n)]과 같이 [math((S^1)^n)]에도[* 물론 [math(n \ne 1)]일 때 [math(S^n)]과는 다르다. 이건 [[구(도형)|구]]이다.] 리 군 구조를 자연스럽게 줄 수 있다. 따라서 도넛을 리 군으로 간주할 수 있다! * 당연하지만 [math(\R^m \!\times \!(S^1)^n)] 역시 리 군으로 간주할 수 있다.[* 왜 굳이 이런 것까지 쓰냐면, 이것들이 사실 연결 가환 행렬 리 군(connected and commutative matrix Lie group)들의 전부이기 때문이다. Brian Hall의 Lie Groups, Lie_Algebras, and Representations (Springer, 2015)의 Proposition 11.2를 보자. 단, 이 책에 써져 있는 것만 놓고 보면 컴팩트한 경우만 분류한 것으로 보이나, 사실 증명 말미를 자세히 보면 컴팩트하지 않은 경우까지 커버하고 있다는 것을 볼 수 있다. 단지 그 파트에서 컴팩트하지 않은 경우는 관심이 없어서 그렇지.(...)] 가환(commutative) 리 군만 봤는데, 물론 가환이지 않은 리 군도 있고, 훨씬 더 다채롭다. 몇 개만 들어 보자. * [math(n \times n)] 행렬들 중 역행렬을 갖는 행렬들만 모은 집합에 행렬곱을 곱 연산으로 주면 리 군이 된다. 보통 이걸 [math({\rm GL}(n, F))]라고 표기하고 '''선형(변환)군'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/General_linear_group|general linear group]])이라고 부른다. 여기서 [math(F)]는 주어진 field이며, 잘 모르면 그냥 [math(\R)], [math(\mathbb{C})] 중 하나라고 생각해도 좋다. * 그 중에서 [[행렬식]]이 1인 행렬들만 모은 것도 역시 리 군이 된다.[* 곱 연산에 대해 닫혀 있고 역행렬 역시 모두 포함하며, 이들 연산이 매끄럽다는 것을 보이는 건 이 예를 포함하여 아래 모든 예제들에서 매우 간단한 문제이다. 하지만 문제는 저 녀석들이 정말로 잘 정의된 매끄러운 부분다양체(submanifold) 구조를 가지느냐를 보이는 것이다. 이건 보통 쉬운 일이 아니고, closed group theorem 같은 다른 성질들의 도움을 받아서 증명한다.] 보통 이걸 [math({\rm SL}(n, F))]라고 표기하고 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Special_linear_group|special linear group]]이라고 부른다. 앞으로 'S'가 붙은 것들은 이름에도 'special'을 붙인다. * [math(n \times n)] '''실수''' 행렬들 중 orthogonal한 것들을 모은 집합에 행렬곱을 곱 연산으로 준 것 역시 리 군이 된다. 보통 이걸 [math({\rm O}(n))]이라고 표기하고[* 주의: [[점근 표기법]]과 표기가 비슷하다. O의 기울임꼴 유무의 차이에 주의할 것. 때에 따라서는 점근 표기법을 흘림체([math(\mathcal O)])로 쓰기도 한다.] '''직교군'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_group|orthogonal group]])이라고 부른다. 물론 그 중에서 행렬식이 1인 것들만 모은 것도 리 군이 되며, 이건 [math({\rm SO}(n))]이라고 표기하고 '''특수 직교군'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_group#SO(n)|special orthogonal group]])이라고 부른다. * [math(n \times n)] '''복소수''' 행렬들 중 unitary한 것들을 모은 집합에 행렬곱을 곱 연산으로 준 것 역시 리 군이 된다. 보통 이걸 [math({\rm U}(n))]이라고 표기하고 '''유니터리군'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_group|unitary group]])이라고 부른다. 물론 그 중에서 행렬식이 1인 것들만 모은 것도 리 군이 되며, 이건 [math({\rm SU}(n))]이라고 표기하고 '''특수 유니터리군'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/Special_unitary_group|special unitary group]])이라고 부른다. * 조금 특이한 걸 꺼내보자. 다음 행렬을 생각해 보자. [math(M = \left( \begin{array}{cc} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{array} \right))]. 여기서 [math(I_n)]은 [math(n \times n)] 단위행렬이다. 이제 [math(A^T MA = M)]을 만족하는 [math(A)]들을 모은 집합을 [math({\rm Sp}(n, F))]라고 표기하자. 그러면 이 집합에 속하는 임의의 두 행렬을 곱한 것과 어떤 한 행렬의 역행렬(항상 역행렬을 가진다는 것 또한 보일 수 있다) 또한 저 집합에 속한다는 것을 알 수 있다. 좀 더 살펴보면 [math({\rm Sp}(n, F))] 역시 리 군임을 알 수 있다. 이 군을 가리켜 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Symplectic_group|symplectic group]]이라고 부른다. * 이번엔 다음과 같은 '''실수''' 행렬을 생각해 보자. [math(J_{n,m} = \left( \begin{array}{cc} I_m & 0 \\ 0 & -I_n \end{array} \right))]. 이제 [math(A^T MA = M)]을 만족하는 [math(A)]들을 모은 집합을 [math({\rm O}(m, n))]이라고 표기하자. 이 역시 리 군을 이룬다는 것을 볼 수 있다. 물론 위와 똑같이 [math({\rm SO}(m, n))] 역시 정의할 수 있다. 특히, [math({\rm SO}(1, 3))] (혹은 [math({\rm SO}(3, 1))])을 가리켜 '''[[로런츠 군]]'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_group|Lorentz group]])이라고 부른다. * 여기까지 소개된 군들 중 special group(S가 붙은 것)들을 모으고, 여기에 '''[[사원수]]를 성분으로 갖는''' 행렬들로 비슷한 몇몇 리 군들을 구성한 다음 끼얹으면, 소위 '''고전 군'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_group|classical group]])들이라고 불리우는 한 세트를 얻을 수 있다. * 위에서 [math(\R^n)]이 리 군임을 보았다. 한편, 우리는 [math(\R^n)]에 가해지는 [math({\rm SO}(n))]의 매우 자연스러운 작용(action)을 알고 있다. 물론 그건 그냥 행렬곱이다. 이제 [math({\rm SO}(n) \times \R^n)]에 다음과 같은 곱을 주자. [math((A, v) \cdot (B, w) = (AB, v + Aw))]. 사실 이 곱은 다름 아닌 반직접곱(semidirect product) 구조를 준다. 즉, 이로부터 [math({\rm SO}(n) \ltimes \R^n)]를 정의한 셈이다. 사실 이건 보통 [math({\rm ISO}(n))]이라고 표기되며, '''유클리드 군'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_group|Euclidean group]])이라고 불린다. 물론 [math({\rm SO}(n))] 말고 다른 리 군을 넣어도 이런 새로운 리 군을 만들 수 있다. 그 중에서도 또 이름이 붙은 경우는 [math({\rm SO}(1, 3) \ltimes \R^4)]인데, 이건 '''[[푸앵카레 군]]'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_group|Poincaré group]])이라고 불린다. * 다음과 같은 꼴의 행렬들을 모은 집합을 생각해 보자. [math(J_{n,m} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right))]. 이 역시 리 군을 이룬다. 이걸 '''하이젠베르크 군'''([[https://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group|Heisenberg group]])이라고 부른다. 물론 이게 다는 아니다. 그 외에도 정말 많은 비가환 리 군이 존재한다. 심지어 '''행렬 꼴로 나타낼 수 없는''' 리 군도 존재한다![* Brian Hall, Lie Groups, Lie_Algebras, and Representations (Springer, 2015), Proposition 5.16.] 위와 같이 유한한 수의 카테고리들로 모든 리 군들을 분류할 수 있는가 하는 질문은 대답하기 어려워 보인다.[* 다만 Levi decomposition으로 주어진 리 군의 구조를 어느 정도 잘 뜯어 볼 수 있긴 하다. 특히 해당 리 군의 리 대수를 들여다 보면 Levi decomposition도 더 수월하게 할 수 있다. 광역적 위상 성질(globally topological property)들도 조사해야 하고 이건 또 별개의 일이지만...] 하지만 다행스럽게도 [[리 대수]]에서의 업적을 통해 단순 리 군(simple Lie group)들이 모두 분류가 되었으며, 이는 리 군을 다루는 데 있어서 강력한 도구로 자리매김한다. 더군다나 많은 분야에서 실제로 관심 있는 리 군은 컴팩트 리 군(compact Lie group)들이다. 이들은 이미 모두 분류가 끝나 있는 상태이다.[* 그 중 '''일부'''는 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups|이 링크]]에 잘 정리되어 있다.] 심지어 이들의 [[표현론|표현]](representation)들도 모두 분류된 상태이다! 이 결과물은 [[게이지 장|물리학의 최전선]] 뿐만 아니라 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기